Вторая квадратичная форма

Цель данной работы: изучить понятие второй квадратичной формы, кривизны на поверхности, научиться определять типы точек на поверхности.

В данной работе были рассмотрены основные теоретические аспекты, связанные с второй квадратичной формой. Было дано определение второй квадратичной формы, приведенная развернутая классификация регулярных точек поверхности, а также рассмотрено понятие гауссовой и средней кривизны, которое основывается на второй квадратичной форме.
Вторая квадратичная форма – квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.
Метрика не определяет однозначную форму поверхности. Например, метрика геликоида и катеноида, параметризованных соответствующим образом, совпадает, то есть между их областями существует соответствие, сохраняющее все длины (изометрия). Свойства, сохраняющиеся при изометрических преобразованиях, называются внутренней геометрией поверхности. Внутренняя геометрия не зависит от положения поверхности в пространстве и не меняется при ее изгибании без растяжения и сжатия (например, при изгибании цилиндра в конус).
Знание второй квадратичной формы достаточно для вычисления длин дуг, углов между кривыми, площади областей на поверхности.

В данной работе были рассмотрены основные теоретические аспекты, связанные с второй квадратичной формой. Было дано определение второй квадратичной формы, приведенная развернутая классификация регулярных точек поверхности, а также рассмотрено понятие гауссовой и средней кривизны, которое основывается на второй квадратичной форме.
Вторая квадратичная форма – квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.
Метрика не определяет однозначную форму поверхности. Например, метрика геликоида и катеноида, параметризованных соответствующим образом, совпадает, то есть между их областями существует соответствие, сохраняющее все длины (изометрия). Свойства, сохраняющиеся при изометрических преобразованиях, называются внутренней геометрией поверхности. Внутренняя геометрия не зависит от положения поверхности в пространстве и не меняется при ее изгибании без растяжения и сжатия (например, при изгибании цилиндра в конус).
Знание второй квадратичной формы достаточно для вычисления длин дуг, углов между кривыми, площади областей на поверхности.