Байесовский подход в идентификации систем

Вершины такого графа — это случайные переменные структурной модели. Таким обра‑зом, первой переменной вектора X соответствует первая вершина графа, второй перемен‑ной — вторая вершина, и так далее. Ребра в таком графе определены следующим образом: ребро между вершинами i и j в сети концентрации отсутствует тогда и только тогда, когда для недиагонального элемента трансформированной матрицы концентрации выполняется ограничение cij =0. Иначе ребро между вершинами i и j присутствует. При этом существует следующая связь между структурными параметрами и сетью концентрации: почти для всех значений параметров ребро от вершины xi к вершине xj присутствует в сети концентрации тогда и только тогда, когда в системе уравнений (1) присутствует хотя бы одно уравнение, в которое включены одновременно обе переменные xi и xj .

Таким образом, нулевые элементы матрицы концентрации дают информацию об огра‑ничениях на структурные параметры SVAR-модели.
Перейдем к методологии байесовского усреднения моделей.
В данном направлении литературы предполагается, что в условиях неопределенности (относительно истинной) каждую модель можно задать с помощью некоторой дискретной случайной величины , принимающей значение на множестве априорно заданных моде‑лей s =1,…, S. Далее реализация случайной величины = s будет означать, что истинной моделью является модель s. В связи с этим исследователь может иметь некоторые априорные представления о вероят‑ностях моделей p = s из некоторого априорно заданного множества моделей s =1,…, S (в литературе часто предполагается одинаковая априорная вероятность каждой модели: p = s = S 1 s ). Предполагается, что набор данных X дает дополнительную инфор‑мацию о вероятностях моделей, что дает критерий для их сравнения. Более того, это дает возможность подсчитать апостериорное распределение любой функции от структурных параметров при условии предполагаемого множества моделей c ненулевой априорной ве‑роятностью:
S
p ( g ( ) X ) =p ( g ( ) X ;= s ) p (= s X ).
s=1
Апостериорная вероятность модели в общем виде может быть подсчитана по следую‑щей формуле2:
p (=�s X ) = S p (Y Z ; = s ) p( = s) ,
p (Y Z ; = k ) p( = k)
k=1
где p( = s) — априорная вероятность модели s, а p (Y Z; = s) — маргинальная функ‑ция правдоподобия, которая рассчитывается как интеграл (по всем параметрам модели =[A, B] ) от совместной функции плотности параметров и данных для заданной модели:
p (Y Z;= s)=p (Y , Z;= s ) d =p (Y Z , ;= s ) p(= s) d . (2)
Таким образом, задача расчета апостериорных вероятностей может быть разделена на две подзадачи: во‑первых, оценка апостериорных распределений параметров SVAR-модели при условии данных, а во‑вторых, расчет маргинальной функции правдоподобия и апосте‑риорных вероятностей рассматриваемых моделей.
рамках данной работы предлагается использовать процедуру Метрополиса–Гастингса для оценки апостериорных параметров. Однако оценка маргинальной функции правдопо‑добия в такой задаче затруднена. Во-первых, апостериорные параметры SVAR-модели не принадлежат ни к одному классу известных распределений. Во-вторых, расчет интеграла совместной плотности параметров и данных по распределению параметров в явном виде крайне сложен. По этой причине в данной работе используется численный метод оценки маргинальной функции правдоподобия.
В этом разделе предложенный метод будет описан более подробно. Для того чтобы предло‑женная процедура состоятельно оценивала апостериорные распределения параметров и апо‑стериорные вероятности моделей при условии данных, необходимо выполнение ряда условий рамках анализа симуляций в данном подразделе предполагается самая простая струк‑тура структурной векторной авторегрессии с двумя эндогенными и двумя экзогенными пе‑ременными, которые формируются как лаги эндогенных переменных.
Прежде всего, были сгенерированы векторы Z и размерности 1 T , T =300 как не‑зависимые реализации стандартных нормальных случайных величин (0,1) . Каждую модель можно выразить с помощью матриц ограничений на структурные пара‑метры уравнения (1). Обозначим через матрицу ограничений на параметры A ( ij =0, если aij =0 для предполагаемой модели s, и ij =1 иначе), а через — матрицу ограниче‑ний на параметры B . Тогда истинные матрицы параметров могут быть выражены с помощью операции поэлементного умножения, обозначаемой символом.
Для каждой модели и априори заданных матриц неограниченных структурных параме‑тров A и B были сгенерированы эндогенные переменные Y: