Функциональные ряды

Целью работы является изучение функциональных рядов и вопросов, касающихся их сходимости.

Определение. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда n=0∞cnxn, если оно равно sup{ x }, где х ϵ Ω, когда Ω отлично от одной точки или всей числовой оси. Если Ω = {0}, т. е. ряд сходится только при х = 0, то по определению полагается R = 0. В случае, когда ряд сходится при любом х, по определению полагается R = ∞.
Определение. Интервалом сходимости ряда n=0∞cnx0n называется интервал (–R, R), где R – радиус сходимости ряда.
Теорема 1.15 (о равномерной сходимости степенного ряда). Пусть дан ряд n=0∞cnxn с радиусом сходимости R ≠ 0. В таком случае на всяком отрезке [–r, r] ⊂ (–R,R), (r > 0) ряд сходится равномерно.
Следствие 1.4. При выполнении условий теоремы ряд n=0∞cnxn сходится равномерно на любом отрезке [α, β] ⊂ (–R,R).
Теорема 1.16 (о непрерывности суммы степенного ряда). Пусть дан ряд n=0∞cnxn с радиусом сходимости R ≠ 0. В таком случае его сумма S (х) непрерывна в любой точке интервала сходимости.
Теорема 1.17. Пусть дан ряд n=0∞cnxn с радиусом сходимости R ≠ 0. В таком случае его сумма s (x) дифференцируема в любой точке интервала сходимости, причем
dsdxx=n=1∞ncnxn-1,
т. е. ряд можно почленно дифференцировать. Кроме того, для любой такой точки х имеет место равенство
0xsτdτ=n=0∞cnxn+1n+1,
т. е. ряд можно почленно интегрировать. При этом радиусы сходимости рядов n=1∞ncnxn-1 и n=0∞cnxn+1n+1 будут равны R.
^ ,to я + 1
Следствие 1.5. Поскольку почленно продифференцированный ряд снова имеет радиус сходимости, равный R, то он также удовлетворяет условиям теоремы и его можно почленно продифференцировать еще раз. Отсюда следует, что сумма степенного ряда имеет производные любого порядка, а ряд можно дифференцировать почленно любое число раз.
Определение. Если функция у = f (x) в некоторой окрестности точки х0 имеет производные любого порядка, то для нее можно построить ряд
fx0+x-x01!f'x0+x-x022!f''x0+…+x-x0nn!fnx0+…,
который называется рядом Тейлора в точке х0 этой функции. Если х0 = 0, то этот ряд носит название ряда Маклорена.
Теорема 1.18 (теорема единственности). Если функция y = f (x) является суммой степенного ряда в точке х0, т. е.
fx=n=0∞cn(x-x0)n
в некоторой окрестности точки х0, то этот ряд является для нее рядом Тейлора, т. е.
cn=fn(x0)n!, n=0, 1, ….
Сформулированная теорема имеет большое практическое значение: она утверждает, что найденное любым способом разложение функции в степенной ряд дает разложение функции в ряд Тейлора.

Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.
В работе были подробно рассмотрены функциональные ряды, их свойства и критерии сходимости. Все задачи, стоящие перед началом выполнения данной работы, выполнены.
Функциональные ряды являются одним из важнейших разделов математического анализа. Приступая к практическому изучению рядов, прежде всего, следует усвоить понятия сходящегося и расходящегося ряда, а затем перейти к изучению признаков (условий) сходимости рядов и их свойств. Установление признаков, позволяющих решить вопрос о сходимости или расходимости данного ряда, является одним из главных вопросов теории рядов. Следует понимать и правильно применять необходимые и достаточные условия сходимости.