принцип сжимающих отображений

Целью работы является изучение принципа сжимающих отображений.

Доказанная теорема называется также принципом неподвижной точки Пикара – Банаха в честь французского математика Ш. Э. Пикара (1856 – 1941), которому принадлежит ряд важнейших результатов в теории дифференциальных уравнений и теории аналитических функций, и польского математика С. Банаха (1892 – 1945), одного из создателей функционального анализа [3, с. 44].
Принцип неподвижной точки, сформулированный в приведенной выше теореме, называемый также принципом сжимающих отображений, возник как обобщение доказательства Пикара теоремы существования решения дифференциального уравнения (оно будет рассмотрено в п. 2.2 данной работы). В полной общности принцип сжимающих отображений был сформулирован Банахом в 1922 году.
Если некоторая степень отображения полного метрического пространства в себя является сжимающим отображением, то само отображение имеет неподвижную точку, и притом единственную.
Действительно, если отображение f : X → X полного метрического пространства X в себя такое, что его n-я степень fn=f°f°…°fn раз, n≥1, является сжимающим отображением, то у нее существует неподвижная точка x ϵ X, то есть f n(х) = х; тогда
f (x) = f (f n(x)) = f n(f (x)),
то есть f (x) также неподвижная точка отображения f n. Но такая точка, согласно доказанной выше теореме, единственная, значит, f (х) = х.
Принцип сжимающих отображений может применяться к доказательству существования и единственности решений для уравнений разных типов (алгебраических, дифференциальных, интегральных, трансцендентных, СЛАУ). Кроме доказательства существования и единственности решения уравнений вида Ах = х, принцип сжимающих отображений предоставляет и фактический метод приближенного нахождения данного решения (метод последовательных приближений). Также исследуемый в данной работе принцип нашел большое применение при построении итерационных процессов.
2. Применение принципа сжимающих отображений
2.1 Метод последовательных приближений
В качестве примера будет рассмотрено линейное отображение -мерного пространства в себя, которое задается системой линейных уравнений
,. (2.1)
Если отображение является сжатием, то можно применять метод последовательных приближений при решении уравнения . Условие того, что является сжатием, зависит от выбора метрики в пространстве. Далее будут рассмотрены три варианта.

В работе был рассмотрен принцип сжимающих отображений и описано его применение при решении различных математических задач.
Принцип сжимающих отображений может использоваться в доказательстве существования и единственности решений для уравнений разных типов (алгебраических, дифференциальных, интегральных, трансцендентных, СЛАУ). Кроме доказательства существования и единственности решения уравнений вида Ах = х, принцип сжимающих отображений предоставляет и фактический метод приближенного нахождения данного решения (метод последовательных приближений). Также исследуемый в данной работе принцип нашел большое применение при построении итерационных процессов.