применение рядов к приближенным вычислениям

Целью данной работы является рассмотрение применения теории рядов к приближенным вычислениям.

Теорема Дирихле. Если функция f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [–π, π], то её ряд Фурье сходится к функции f (x) во всех точках, в которых она непрерывна. В точках разрыва функции ряд сходится к полусумме её предельных значений слева и справа (c – точка разрыва первого рода). Если , то в точках ряд сходится к значению . При этом сумма ряда (2) является периодической с периодом 2π функцией на всей оси Ox.
Пусть теперь функция f (x) задана на отрезке [–1, 1].
Ряд Фурье в этом случае имеет вид
, (3)
Где , ,
(4)
Вопрос о сходимости ряда (3), в свою очередь, определяется теоремой Дирихле, но на отрезке [–l, l], соответственно. Суммой ряда будет периодическая на всей числовой оси функция с периодом 2l.
Замечание: Значок ~ в (4) и (3) нужно понимать следующим образом: если f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на [–π, π] и [–1, 1] соответственно, то во всех точках её непрерывности значок ~ надо заменить знаком = и помнить, что в точках разрыва сумма ряда равна полусумме левого и правого пределов f (x) в этих точках, а на концах отрезка – , если ( соответственно).
Пример 1. Разложить функцию

Итак, было рассмотрено понятие о числовых рядах, степенных рядах, признаки сравнения рядов. Разобрали понятие о ряде Фурье и некоторые его применения. Выяснили, как можно использовать разложения элементарных функций в ряд Тейлора и нашли новые способы вычисления определенных интегралов и пределов.
Хочется добавить, что ряды Фурье имеют самое большое применение в разных областях. Начиная от математики и заканчивая машиностроением. Как высказался один известный ученый: «Применение ряда Фурье неисчислимое множество».
Из вышесказанного видно, что ряды тесно связаны со всеми разделами математики и другими науками. Ряды очень полезны в решении задач, которые обычными методами сложно или невозможно решить. Применение рядов встречается в таких сферах как: экономика, физика и других.