Геометрические преобразования в задачах на построение

К примеру, пусть точка B переходит в точку C при повороте вокруг точки A на угол +60° и точка B лежит на прямой b B∈b. Тогда точка C, получающаяся из нее поворотом вокруг точки A на угол +60°, должна лежать на прямой b’ C∈b’, получающейся из прямой b поворотом вокруг точки A на угол +60°. При этом C∈c (по условию задачи). Следовательно, C=b’∩c.
Аналогично, если точка B переходит в точку C при повороте на угол -60° вокруг точки A (рис.3), то C=b’∩c, где b’получается из прямой b поворотом вокруг точки A на угол -60°.

Рисунок 3
Перейдем к построению.
Вариант 1.
Возьмем произвольно точку A на прямой a.
Построим прямую b’, получающуюся из прямой b поворотом вокруг точки A на угол +60° (рис. 2).
В пересечении прямых b’ и c получаем точку C.
Третья вершина искомого ∆ABC получается из точки C поворотом вокруг точки A на угол -60°.
Вариант 2.
Возьмем произвольно точку A на прямой a.
Построим прямую b’, получающуюся из прямой b поворотом вокруг точки A на угол -60° (рис. 3).
В пересечении прямых b’ и c получаем точку C.
Третья вершина искомого ∆ABC получается из точки C поворотом вокруг точки A на угол +60°.
Доказательство.
При повороте вокруг точки A на угол -60°. прямая b’ переходит в прямую b (рис.2). Значит, C∈b’ переходит при этом же повороте в точку, лежащую на прямой b. Говоря по-другому, B∈b. По определению поворота получаем: ∠BAC=60°, AB=AC. Из этого следует, что ∆ABC -равнобедренный с углом 60° при вершине, то есть ∆ABC — равносторонний.
Таким же образом доказывается, что равносторонним является треугольник, изображенный на рис.3.
Проведем исследование данной задачи.
Для рисунка 1.
b’∦b⇔∠b,b’=60° по свойству поворота⇒b’∩c=C, c∥b⇒∆ABC-существует.
Для рисунка 2.
b’∦b⇔∠b,b’=-60° по свойству поворота⇒b’∩c=C, c∥b⇒∆ABC-существует.
Следовательно, при произвольно выбранной точке A∈a задача всегда имеет два решения.
2.2. Метод параллельного переноса
Рассматриваемый метод заключается в следующем: некоторое части исходной или искомой фигуры (или всю фигуру) перемещают в другое положение, при котором легче найти зависимость между данными и искомыми элементами.
Задача 2.2. Построить трапецию по одному ее углу, двум диагоналям и средней линии.
Решение.
Проведем анализ данной задачи.
Пусть искомая трапеция ABCD построена (рис. 4). Диагонали AC=d1, BD=d2, средняя линия MN=l, ∠BAD=α.