Ряды Фурье

Целью данной работы является изучение понятия ряда Фурье, а также его свойств.

Таким образом, можно сделать следующий вывод. Изначально имелась некоторая функция f (х), которая удовлетворяла условиям Дирихле и была задана на отрезке [–π, π]. При составлении ее тригонометрического ряда Фурье в качестве его суммы s (х) получается функция, определенная уже не только на отрезке [–π, π], но и для всех остальных вещественных значений х. Кроме того, на отрезке [–π, π] сумма s (x) описывает функцию f (х).
Данная функция вне отрезка [–π, π] могла быть неопределенной. Пусть функция f (x) определена для всех х, но будем рассматривать ее на отрезке [–π, π] и составим сумму ее тригонометрического ряда Фурье s(x) применительно к данным значениям. Эта сумма, будучи периодической функцией, опишет функцию f (x) вне отрезка [–π, π] тогда и только тогда, когда сама функция является периодической с периодом 2π в точках непрерывности, т. е. когда для каждой точки непрерывности х функции f (х)
f (x + 2π) = f (x).
Если же функция f (x), наоборот, не обладает этим свойством, то вне отрезка [–π, π] она может и не иметь ничего общего с функцией s (x).
Таким образом, когда функция f (x) периодическая с периодом 2π, ее тригонометрический ряд Фурье всюду ее описывает. В противном случае он опишет ее только на отрезке [–π, π]. Слово «описание», разумеется, нужно понимать в том смысле, в каком это сформулировано в теореме Дирихле.
2.2 Физический смысл разложения функций в ряд Фурье
В качестве независимой переменной будем рассматривать время. Тогда функциональная зависимость будет характеризовать какой-либо процесс, происходящий во времени.
Для удобства рассуждений ограничимся случаем, когда данный процесс сведен к механическим движениям какой-либо системы, т. е. к ее перемещениям в пространстве.
В данном случае поставим вопрос о представлении движения в некотором отрезке времени в виде комбинации каких-либо движений, заданных заранее. Данному представлению движения будет соответствовать разложение функции, описывающей его, в функциональный ряд по заданным функциям.
В частности, можно ставить вопрос о представлении произвольного движения в некотором временном отрезке [–π, π] в виде одновременного осуществления какого-либо стационарного смещения, а также гармонических колебаний с периодами 2π, 2π2, 2π3, … Любое колебание данного типа представляется выражением
Ansinnt+φn, (2.1)
которому соответствует пара членов тригонометрического ряда
ап cos nt + bn sin nt, (2.2)
где
ап = Ansinφn, (2.3)
bn = Ancosφn. (2.4)
Можно сделать вывод, что пара соседних членов (2.2) тригонометрического ряда соответствует какой-либо гармонической составляющей (2.1) общего движения системы с периодом 2πn и амплитудой Ап. Данную гармоническую составляющую обычно называют п-й гармоникой движения. Из формул (2.3) и (2.4) для амплитуды п-й гармоники получим
An=an2+bn2.
2.3 Разложение функции f (x) = x в ряд Фурье
В качестве примера рассмотрим разложение в тригонометрический ряд Фурье функции
f (x) = x, (2.5)
заданной на отрезке [–π, π]. Так как данная функция внутри сегмента [–π, π] монотонна и непрерывна, то очевидно, что она удовлетворяет условиям Дирихле. Отметим, что говорить о непрерывности этой функции на концах рассматриваемого отрезка, т. е. в точках –π и π, пока рано, потому что для непрерывности функции в данных точках необходимо знать ее предельное поведение при подходе к отрезку извне. Но о значениях функции f (x) вне отрезка [–π, π] пока ничего неизвестно.
Составим тригонометрический ряд Фурье для заданной конкретной функции f (х) = х. Для этого необходимо вычислить следующие интегралы, в соответствии с формулами (1.5) – (1.7):
a0=1π-ππx dx=1πx22π-π=0,
an=1π-ππx cos nx dx=1πx1nsin nxπ-π-1n-ππsin nx dx=0,
bn=1π-ππx sin nx dx=1π-x1ncos nxπ-π+1n-ππcos nx dx=-1n+12n.
Таким образом, тригонометрическим рядом Фурье функции f (х) = х на отрезке [–π, π] будет ряд
2sinx-12sin2x+13sin3x-…+-1n+11nsinnx+…. (2.6)
Сумма данного ряда является функцией от х. Обозначим ее s (х).
Данная функция во всех точках непрерывности f (x) должна совпадать с ней. Значит, внутри отрезка [–π, π] должно быть
s (x) = f (х) = х.
Затем, при х = ± π все синусы обратятся в нуль:
sin πx = 0.
Следовательно,
s (± π) = 0.
Наконец, как было замечено, функция s (x) должна быть периодической и иметь период 2π. Поэтому аналитически данную функцию можно задать как
sx=x-x2π2π, x≠±π, ±3π, ±5π, … ,0, x=±π, ±3π, ±5π, … ,
а ее график показан на рис. 2.1.

Практическое применение рядов Фурье очень велико. Например, цифровые фотоаппараты и видеокамеры записывают в памяти не картинки, а коэффициенты их рядов Фурье. То же можно сказать о современном цифровом телевидении, а также о картинках и видео в интернете. Цифровая революция, произошедшая за предыдущие 15 – 20 лет в телевидении и фотографии подарила человечеству много возможностей. Возможности снимать видео, фотографировать и смотреть телевизионные передачи со всего мира, используя телефон, появились тогда, когда ученые смогли записывать и передавать не картинки, как ранее, а их коэффициенты Фурье. 
В данной работе были решены все поставленные задачи.
Во введении была сформулирована цель курсовой работы и обоснована её актуальность. В первой главе было описано понятие коэффициентов и рядов Фурье, а также условия Дирехле и теорема о разложении функции в ряд Фурье. Во второй главе были рассмотрены основные принципы разложения функций в ряд Фурье. В третьей главе описаны свойства четных и нечетных функций и разложение их в ряды Фурье. В четвертой главе было рассмотрено разложение в комплексные ряды Фурье.