Применение дифференциальных уравнений в биологии

Цели и задачи

Целью настоящей работы является рассмотрение возможности применения дифференциальных уравнений для решения биологических задач.

Введение и актуальность

Искомая функция и её производная содержатся в уравнении (1.7) в первой степени (линейно). Уравнение Бернулли (1.8) отличается от линейного уравнения (1.7) множителем некоторой степени функции, входящим в правую часть. Решаются эти уравнения обычно посредством подстановки , при этом как (1.7), так и (1.8) приводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций и .

1.2.5 Уравнение в полных дифференциалах

Это уравнение первого порядка

. (1.9)

Если функции удовлетворяют условию то левая часть (1.9) есть полный дифференциал некоторой функции
,
– общий интеграл.

1.2.6 Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка. Метод изоклин

Изоклины – это кривые = k, k = const.
0
y
x
0
y
x

Рисунок 1 – Метод изоклин
− угловой коэффициент касательной, проведенной к интегральной кривой. Таким образом, уравнение геометрически устанавливает, что в любой точке (x,y) интегральной кривой известен угол наклона ее касательной, причем сама кривая нам неизвестна.
Обычно изображают при помощи системы черточек или стрелок с углом наклона к оси . Таким образом получается так называемое поле направлений дифференциального уравнения . Так как интегральные кривые в каждой своей точке касаются этих отрезков малой длины, то отсюда получается приближенный метод построения интегральных кривых – метод изоклин.
Сначала строят изоклины, т.е. кривые, на которых направление поля одинаково, , . − уравнение изоклины.
Чтобы изобразить направление поля на изоклине , нужно нанести на ней параллельные черточки, которые составляют угол с осью , тангенс которого равен . На рис. 1 изоклины – это вертикальные прямые. Параллельными черточками на каждой из них показано направление поля.
Так как вектор также составляет угол с осью , то для изображения поля направлений на изоклине сначала следует построить вектор по его координатам 1 и k, а затем на изоклине нанести черточки, параллельные этому вектору. Чем больше будет построено изоклин, тем точнее можно построить интегральные кривые.

Заключение и вывод

Изучение широкого круга задач биологии, а также других отраслей научных знаний показывает, что решение многих из них можно привести к математическому моделированию процессов в виде функциональной зависимости.
Так, например, некоторые процессы кинетики химических реакций, динамики биологических популяций, движения космических объектов исследуются с помощью уравнений, в которых кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, содержатся производные неизвестных функций (или их дифференциалы). В результате эти процессы сводятся к решению дифференциальных уравнений.
В представленной работе:
- описаны теоретические основы дифференциальных уравнений;
- рассмотрены некоторые приёмы решения задач биологии при помощи дифференциальных уравнений.
Практическая ценность методов математического моделирования процессов, в частности, биологических заключается в следующем:
правильно составленная и всесторонне использованная математическая модель дает возможность оптимизации изучения реальных систем во времени;
математическая модель облегчает прогнозирование течения и результата процессов, происходящих в реальных биологических системах.