Жесткие системы ОДУ

Целью работы является исследование одностадийной комплексной схемы Розенброка, явного четырехстадийного метода Рунге-Кутты применительно к решению жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Наиболее распространенным подходом при вычислении интеграла в (3) является замена в подинтегральной функции полиномом невысокой степени, интеграл от которого вычисляется точно. Так, если f (x, y) заменить полиномом нулевой степени, т.е. положить f (x,y)  f (xi , yi ) или f (x, y)  f (xi1, yi1) , то получим соответственно явную и неявную формулы Эйлера:

yi1  yi  h  f (xi , yi ) (4)
и
yi1  yi  h  f (xi , yi1) (5)

В первом случае значение yi1 находится непосредственно (явным образом), во втором - уже необходимо решать алгебраическое (как правило, нелинейное) уравнение.
Если подинтегральную функцию заменить полиномом первой степени
f (x, y)  f (xi , yi )  (x  xi )[f (xi1, yi1)  f (xi , yi )]/ h , то получим также алгебраическое уравнение yi1  yi  h  [f (xi , yi )  f (xi1, yi1)] / 2 .
Заметим, что правая часть этого уравнения при малых h удовлетворяет принципу сжатых отображений и его можно решать методом простых итераций
y(in11)  yi  h [f (xi , yi )  f (xi1, y(in1))]/ 2,n  0,1,. При этом оказывается, что если y(i01) вычисляется по явной формуле Эйлера, то дальнейшие итерации не приводят к повышению порядка точности по h и пара формул

При решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений с большим числом жесткости оптимальным выбором является одностадийная комплексная схема Розенброка.
МКСЭ является «точным» методом решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в том смысле, что если решение вспомогательных задач метода является точным, то и итоговое решение задачи точно. При нахождении соответствующих решений численно в качестве вспомогательного метода следует применять (4,2)-метод по причине его высокой точности.
При решении рассмотренных выше краевых задач методами базисных функций приходится вычислять интегралы и решать системы линейных алгебраических уравнений. Для распараллеливания этих задач также можно использовать соответствующие параллельные алгоритмы численного анализа и линейной алгебры.
В методе конечных разностей возникает необходимость в решении системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей и здесь могут использоваться алгоритмы распараллеливания прогонки. Наиболее эффективным является метод встречных прогонок, требующий использования двух процессоров. Использование алгоритма параллельной прогонки на большом числе процессоров существенно увеличивает «накладные расходы», причем его эффективность определяется также структурой памяти и организацией режимов работы с ней на кластерной системе.