Решение задач на делимость

Целью данной работы является рассмотрения понятия делимости, а также основных свойств.

Делению целого отрицательного числа  на целое положительное число  тоже можно придать смысл. Для этого рассмотрим целое отрицательное число как долг. Представим такую ситуацию. Долг, который составляет   предметов, должны погасить  человек, внеся одинаковый вклад. Абсолютная величина неполного частного c в этом случае будет определять величину долга каждого из этих людей, а остаток  покажет, какое количество предметов останется после уплаты долга. Приведем пример. Допустим  человека должны  яблок. Если считать, что каждый из них должен по  яблока, то после уплаты долга у них останется  яблоко. Этой ситуации отвечает равенство .
Делению с остатком произвольного целого числа  на целое отрицательное число мы не будем придавать никакого смысла, но оставим за ним право на существование.
Когда мы говорили о делении натуральных чисел с остатком, то выяснили, что делимое , делитель , неполное частное  и остаток  связаны между собой равенством . Для целых чисел  характерна такая же связь. Эта связь утверждается следующей теоремой о делимости с остатком.
Теорема. Любое целое число  возможно представить единственным образом через целое и отличное от нуля число  в виде , где  и  – некоторые целые числа, причем .
Доказательство. Сначала докажем возможность представления .
Если целые числа  и такие, что  делится на  нацело, то по определению существует такое целое число , что . В этом случае имеет место равенство  при .
Теперь будем считать, что  – целое положительное число. Выберем целое число  таким образом, чтобы произведение  не превышало числа , а произведение было уже больше, чем . То есть, возьмем  таким, чтобы выполнялись неравенства . После вычитания из всех частей этого неравенства произведения приходим к неравенствам вида . Так как значение выражения  положительно и не превышает  ( – положительное число), то это значение можно принять в качестве , то есть, . Откуда получаем нужное представление числа a вида .
Осталось доказать возможность представления  для отрицательных .
Так как модуль числа  в этом случае является положительным числом, то для  имеет место представление  , где  – некоторое целое число, а – целое число, удовлетворяющее условиям .
Тогда, приняв , получаем нужное нам представление для отрицательных .
Переходим к доказательству единственности.
Предположим, что помимо представления ,  и  – целые числа и , существует еще одно представление , где  и – некоторые целые числа, причем  и .
После вычитания из левой и правой части первого равенства соответственно левой и правой части второго равенства, получаем , которое равносильно равенству . Тогда должно быть справедливо и равенство вида  , а в силу свойств модуля числа - и равенство .
Из условий  и  можно сделать вывод, что . Так как qи q1 – целые и q≠q1, то  , откуда заключаем, что .
Из полученных неравенств  и  следует, что равенство вида  невозможно при нашем предположении. Поэтому, не существует другого представления числа , кроме .

В данной работе были рассмотрены основные понятия теории делимости чисел, решены основные задачи теории делимости. Количество задач, которые можно решить достаточно большое, в работе только небольшое количество.
Делимость чисел выступает одним из фундаментальных понятий и исследованию данного вопроса посвящено много работ, и исследования ведутся и по сей день, так как есть так называемые нерешенные проблемы, решение которых требует либо больших вычислительных мощностей, либо принципиально новых методов.
В работе рассмотрены понятие деления с остатком, НОД, НОК, алгоритма Евклида, простого числа, взаимно простых чисел, составных чисел.
Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.
Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах.
Уверенность в том, что нерешенные проблемы будут решены составляет 100%, и возможно, данная работа хоть на какую-то долю поможет в этом.