Простые числа в арифметических прогрессиях

Цели и задачи

Целью данной работы является исследования применения простых числе в арифметических прогрессиях.

Введение и актуальность

Поэтому у множителей n1 и n2 существуют канонические разложения: n1=p1α1∙⋯∙psαs∙ps+1αs+1∙⋯∙ptαt, n2=p1β1∙⋯∙psβs∙pt+1αt+1∙⋯∙pmαm, где i , j N0 и различным индексам соответствуют различные простые числа (при этом с нулевыми показателями степеней могут участвовать лишь общие для п1 и п2 простые числа р1 , … , рs). Тогда
n1=p1α1+β1∙⋯∙psαs+βs∙ps+1αs+1∙⋯∙ptαt∙pt+1αt+1∙⋯∙pmαm,
а каноническое разложение числа n получится, если в этом произведении переставить некоторые сомножители, упорядочив простые числа по возрастанию, и отбросить множители с нулевыми показателями степеней. Итак, существование канонического разложения доказано.
Примеры: 1. Найти каноническое разложение числа 11655.
Последовательно проверяем, делится ли данное число на простые числа pi (2≤p≤11655=107,…), получая в случае деления частное ni и сокращая верхнюю границу простых чисел до ni. Результат оформляем в виде таблички:
ni 11655 3885 1295 259 37 1
pi 3 3 5 7 37
ni
107,… 62,… 35,… 16,… 6,… stop

Заключение и вывод

Итак, современной теории чисел удаётся исследовать распределение простых чисел только в арифметических прогрессиях, да и то далеко не полностью.
Можно выделить следующие результаты проделанной работы:
было рассмотрено понятие простого числа, рассмотрены элементарные свойства простых чисел, на примере соответствующих теорем;
была выделена связь простых чисел с арифметическими прогрессиями;
решены соответствующие задачи.
Существуют и более сложные теории связанные с распределением простых чисел в арифметических прогрессия, к таким можно отнести многомерную проблему делителей Дирихле в арифметических прогрессиях, асимптотический закон распределения простых чисел в арифметической прогрессии, и т.д. Данные проблемы являются хорошо изученными, но доказательства достаточно сложные и поэтому требуют дополнительных знаний в области алгебры и теории чисел.
Проблема распределения простых чисел изучается до сих пор, что говорит о том, что ещё есть что изучать и над чем работать. Данная работа может стать неким подспорьем для решения множества сложных задач.