моделирование процесса брожения фермента с использованием математических пакетов

Целью данной курсовой работы является моделирование процесса брожения фермента с использованием математических пакетов.

Для решения этого уравнения необходимо сделать разделение переменных, то есть преобразовать уравнение (1) таким образом, чтобы при dx стоял бы множитель, зависящий только от x, а при dy стоял бы множитель, зависящий только от y. Для этого, достаточно обе части уравнения (1) разделить на произведение X1x Yy, после чего получим:
X(x)X1(x)dx+Y1yYydy=0
Рассмотрим y как функцию переменной x, получим:
XxX1x+Y1yYy∙y'dx=0
Интегрируем по x:
XxX1x+Y1yYy∙y'dx=C
или
XxX1xdx+Y1yYydy=C

Пример. Пусть xdy-ydx=0
Решение:
dyy=dxx
Интегрируем обе части неравенства:
lny=lnx+lnC1
Отсюда: y=C1 x или y=Cx. [2]

§1.4 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Брожение фермента
Некоторые бактерии обладают свойством брожения. Суть брожения заключается в том, что с течением времени вещество увеличивается пропорционально его массе. Это увеличение происходит по физическому закону, идея которого заключается в том, что скорость увеличения пропорциональна количеству наличному к данному моменту времени вещества.
Основная характеристика процесса — коэффициент пропорциональности α, который не зависит от времени и называется постоянной брожения. Таким образом, математически этот закон можно описать следующим уравнением:
dmdt=αm, (1)
где m = m(t) — количество наличного к настоящему моменту времени t
вещества. Проверкой можно убедиться, что функция
m=m0eα(t-t0) (2)
будет являться решением уравнения (1). Здесь m0 — это начальное количество вещества, которое мы рассматриваем в начальный момент времени t0.
Замечание. Закон брожения универсален. Его можно применять при описании различных процессов химического увеличения вещества. Еще он может применяться в банковском деле. Например, начисление задолженности по кредиту или дохода по вкладам совершается в соответствии с подобным законом. Отличие только в том, что в данном случае время обозначается через дискретные промежутки. А в теории операций подобный закон используется при изучении процесса образования финансовых пирамид. [3]
§2 Численные методы решения дифференциальных уравнений. Задача Коши
Задача Коши для дифференциального уравнения n-ого порядка y(n)=f(x,y,y',...,y(n - 1)) заключается в отыскании функции y=y(x), удовлетворяющей этому уравнению и начальным условиям yx0=y0, y'x0=y'0,…,yn-1x0=y0n-1, где x0, y0, y'0,…,y0n-1 – заданные числа. Задача Коши для системы дифференциальных уравнений
dy1dx=f1x, y1, y2,…,yn,dy2dx=f2x, y1, y2,…,yn,…dyndx=fnx, y1, y2,…,yn
заключается в отыскании функций y1, y2,…,yn, удовлетворяющих этой системе и начальным условиям y1x0=y10, y2x0=y20,…, ynx0=yn0.
Систему, содержащую производные высших порядков и разрешенную относительно старших производных искомых функций, путем введения новых неизвестных функций можно привести к системе. В частности, дифференциальное уравнение n-ого порядка y(n)=f(x,y,y',...,y(n - 1)) приводится к системе с помощью замены y1=y', y2=y'',…,yn-1=yn-1, что дает общую систему:
dydx=y1,
dy1dx=y2,
…
dyn-2dx=yn-1,
dyn-1dx=f (x, y1,y2,…,yn).
Если удается найти общее решение уравнения или системы, то задача Коши сводится к отысканию значений произвольных постоянных. Но найти общее решение задачи Коши удается в редких случаях, чаще всего приходится решать задачу Коши приближенно. [7]
§2.1 Метод Рунге-Кутта
Рунге предложил следующую идею, основанную на вычислении приближенного решения yi в узле x0+h в виде линейной комбинации с постоянными коэффициентами.
y1=y0+pq1k1h+ pq2k2h+…+pqqkqh, где (1)
k1h=hfx0,y0, (2)
k2h=hfx0+α2h; y0+β21k1h, (3)
…
kqh=hfx0+αqh, y0+βq1k1h+…+βq, q-1kq-1h(4)
Числа αi, βij и pqi выбираются так, чтобы разложение данного выражения по степеням h совпадало c разложением в ряд Тейлора до максимально возможной степени при произвольной правой части f(x,y) и произвольном шаге h. Это эквивалентно следующему. Если ввести вспомогательную функцию
φqh=yx0+h-y0-i=1qpqikih (5)
то ее разложение по степеням s должно начинаться с максимально возможной степени:
φqh=hs+1s+1!φqs+10+ohs+1 (6)
Если можно определить эти постоянные так, чтобы разложение φqh имело такой вид, то говорят, что формула (1) с выбранными коэффициентами имеет порядок точности s.
Величина p1=φqh=yx0+h-y1 (7)
называется погрешностью метода на шаге или локальной погрешностью метода, а слагаемое
hs+1s+1!φqs+10 (8)
называется главным членом локальной погрешности метода.
Доказано, что если q = 1,2, 3,4, то всегда можно выбрать коэффициенты αi, βij и pqi так, чтобы получить метод типа Рунге-Кутта (1) пятого порядка точности q. При q = 5 невозможно построить метод типа Рунге-Кутта (1) пятого порядка точности, необходимо брать в комбинации (1) более пяти членов.
[7]

В ходе выполнения курсовой работы были рассмотрены теоретические сведения из раздела дифференциальных уравнений, описаны основные понятия, дан материал по дифференциальным уравнениям первого порядка и дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.
Так же удалось изучить материал, касающийся численного решения дифференциальных уравнений, дано определение задачи Коши, подробно рассмотрены численные методы решения – метод Рунге–Кутта и метод Эйлера. Подробно описаны используемы программные средства и технология решения дифференциальных уравнений в данных пакетах.
В практической части работы реализовано: символьное решение заданной задачи, численное решение методом Рунге-Кутта и Эйлера средствами Matchcad и Maple.