Моделирование механических колебаний | Пример курсовой работы

Моделирование механических колебаний

Целью данной курсовой работы является математическое моделирование механических колебаний трех связанных маятников.

Пусть вал вращается с постоянной угловой скоростью по часовой стрелке. Если угол отклонения маятника от вертикали (t) меняется с течением времени, то сила сухого трения в подвесе, нелинейно зависящая от относительной скорости муфты и вала также будет меняться во времени (- угловая скорость муфты). Момент этой силы Мтр будет оказывать периодическое воздействие на маятник, поддерживая его колебания. На рисунке 5 изображена нелинейная зависимость Мтр от относительной угловой скорости муфты и вала.

Рисунок 5 – Зависимость момента силы треня от угловой скорости

На изображенной кривой имеется точка перегиба P. Подберем скорость вращения вала такой, чтобы в отсутствие колебаний попасть в эту точку. В этом случае к муфте маятника будет приложен постоянный момент силы трения: Мтр = М0. Для дальнейшего анализа более удобно воспользоваться зависимостью изображенной на рисунке 6.

Рисунок 6 – Зависимость момента силы треня от угловой скорости (линейный участок)

Следует подчеркнуть, что начальное (линейное) нарастание Мтр с угловой скоростью обеспечивает условие для самопроизвольного нарастания колебаний из флуктуации, что эквивалентно наличию положительной обратной связи, а последующее замедление роста Мтр при увеличении является причиной нелинейного ограничения нарастания колебаний: амплитуда смещения маятника (а значит и амплитуда его скорости достигнет максимальной (установившейся) величины, что эквивалентно наличию нелинейного ограничителя.
Отклоним осторожно маятник от вертикали на угол 0 такой, чтобы момент силы трения, действующий на неподвижный маятник, М0 = Мтр(0) был уравновешен моментом силы тяжести М(0)=mgasin0. Здесь m – масса маятника, a – расстояние от вала до центра масс маятника. На первый взгляд, может показаться, что маятник так и останется висеть под углом 0 к вертикали. На самом деле это положение будет неустойчивым. Представим, что в результате ничтожного толчка маятник приобретет небольшую угловую скорость . При этом возрастут моменты сил тяжести M и трения Мтр и условие равновесия может нарушиться. Если начальный наклон кривой достаточно велик (сильная положительная обратная связь), то . Это означает, что угловая скорость будет нарастать. Однако затем это нарастание прекратится, т.к. из-за нелинейного загиба кривой равенство моментов опять восстановится (сработает механизм нелинейного ограничения): . Этому условию соответствует точка R+ на кривой . После этого угловая скорость начнет уменьшаться, поскольку с ростом угла момент M() продолжает расти, а – убывать. Следовательно, маятник спустя какое-то время остановится, а его угол отклонения достигнет максимальной величины max. Поскольку в этот момент M(max) то маятник начнет двигаться в обратном направлении. Момент силы тяжести начнет уменьшаться, а момент силы трения будет также уменьшаться, но быстрее, чем момент силы тяжести (опять срабатывает положительная обратная связь). Сначала это движение будет ускоренным, пока M > Mтр (до точки R), а затем при M < Mтр – замедленным (до точки P). Остановившись при некотором угле наклона min маятник опять движется влево, т.к. все еще M < Mтр. Наконец, он достигает стартовой позиции, однако приобретенная им скорость будет больше скорости начального толчка. Таким образом, в течение одного периода колебаний увеличилась энергия маятника за счет ее заимствования от устройства, вращающего вал. В последующие периоды колебаний точки R+ и R- на кривой будут сдвигаться в разные стороны, однако из-за нелинейности кривой этот сдвиг прекратится (срабатывает механизм нелинейного ограничения), и колебания установятся.
Чтобы описать колебательный процесс, запишем уравнение вращательного движения маятника с моментом инерции I:
.(16)
В этом уравнении мы пока пренебрежем моментом силы вязкого трения, действующей на движущийся маятник. Момент силы сухого трения в подвесе, нелинейно зависящий от угловой скорости , можно аппроксимировать следующим выражением .
где k1;2 – размерные коэффициенты, определяющие обратную связь и нелинейное ограничение соответственно. Если колебание описывать углом отклонения от положения неустойчивого равновесия, задаваемого углом : то mgasin = mga(sin0cos + cos0sin). Для малых углов : cos 1, sin . Если учесть далее, что , то уравнение (16) примет вид:
.(17)
Это уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением и не имеет аналитического решения. В теории колебаний развиты методы, позволяющие решить его приближенно, исследовать условия, при которых возможно самовозбуждение колебаний, и найти амплитуду 0 и частоту установившихся колебаний: (t)=0sint. Мы же поступим более просто и определим 0 из условия энергетического баланса.
Поскольку k1;2 малы, то частота колебаний приближенно равна: = (mgacos0/I)1/2. Подсчитаем работу за период колебаний совершаемую устройством (например, электродвигателем), вращающим вал. Она, очевидно, равна: . Здесь учтено, что интегралы по времени от и равны нулю, поскольку. Потери энергии в скользящем подвесе за это время составят величину.
На рисунке 7 изображены зависимости А и Q от амплитуды 0.

При выполнении курсовой работы определены основные понятия колебательных процессов, изучены способы их описания; приведены примеры конкретных колебательных систем, описана модель гармонического осциллятора совершающего свободные колебания; описаны методы анализа колебательных процессов; описаны свободные колебания связанных гармонических осцилляторов; описаны вынужденные колебания гармонического осциллятора; записана математическая модель трех связанных маятников; создана практическая модель трех связанных маятников.
Таким образом цель данной курсовой работы (математическое моделирование механических колебаний трех связанных маятников) достигнута.
Для дальнейшего развития темы курсовой можно разработать программу для ЭВМ, позволяющую расчитывать движение произвольного количества связанных математических маятников.
Целью данной курсовой работы является математическое моделирование механических колебаний трех связанных маятников.

Что думаете про курсовую?

Поставьте оценку!