Комплексные числа и круговая геометрия плоскости

Как говорилось выше, комплексное число удобно изображать точкой . Можно также такое число отождествлять с радиус-вектором этой точки . При такой интерпретации сложение и вычитание комплексных чисел производится по правилам сложения и вычитания векторов. Для умножения и деления комплексных чисел более удобной оказывается другая форма.
Введём на комплексной плоскости полярную систему координат. Тогда , где , и комплексное число можно записать в виде:
.
Эту форму записи называют тригонометрической (в отличие от алгебраической формы ). В этой форме число называют модулем, а – аргументом комплексного числа . Они обозначаются: , . Для модуля имеем формулу

Аргумент числа определён неоднозначно, а с точностью до слагаемого , . Значение аргумента, удовлетворяющего неравенствам , называется главным и обозначается . Тогда , . Для главного значения аргумента можно получить такие выражения:
,
аргумент числа считается неопределённым.
Условие равенства двух комплексных чисел в тригонометрической форме имеет вид: модули чисел равны, а аргументы отличаются на число кратное .
Найдём произведение двух комплексных чисел в тригонометрической форме:

Обширность применения области комплексных чисел объясняется очень быстрым мировым прогрессом и уже многие задачи сегодняшнего мира не решаются старыми методами, которые были популярны ранее. Функции комплексного переменного нашли своё применение как в алгебре, так и в информатике, криптографии, и конечное же в геометрии, тригонометрии и различного рода преобразований.
В данной работе были рассмотрены понятие комплексного числа, было дано определение понятия кругового преобразования, доказана конформность круговых преобразований, а также было доказано, что круговое преобразование отличное от подобия является произведением подобия на инверсию.
Во второй главе работы были рассмотрены приложения преобразований Мёбиуса и их примеры, в частности была рассмотрена теорема Птолемея, рассмотрены свойства четырехугольников, также были доказанный свойства ассоциированных треугольников.  
В третьей главе были показаны решения нескольких задач, с помощью круговых преобразований.
В работе большое место занимает вывод формул для решения планиметрических задач с помощью комплексных чисел, а также рассмотрены основные свойства некоторых фигур планиметрии. Также приведенные в ней вычисления сопровождаются иллюстрациями, с помощью которых можно легко разобраться с рассмотренными формулами и полученными результатами.
Данная работа может быть использована, как пособие для решения задач планиметрии с помощью приведенных здесь формул.