Гиперболические функции и их применение в решении задач

Цель данной работы - изучить гиперболические функции и их применение в решении задач.

Сравним теперь гиперболические функции Фибоначчи и Люка (13)-(16) с классическими гиперболическими функциями (11), (12). Легко увидеть, что, в отличие от классических гиперболических функций (11), (12), график косинуса Фибоначчи (14) асимметричен относительно оси y, а график синуса Люка (15) асимметричен относительно начала координат. Это ограничивает область эффективного приложения нового класса гиперболических функций, задаваемых (13)-(16).
Симметричный гиперболический синус Фибоначчи
. (18)
Симметричный гиперболический косинус Фибоначчи
. (19)
Симметричный гиперболический синус Люка

(20)
Симметричный гиперболический косинус Люка
. (21)
Числа Фибоначчи и Люка связаны с введенными выше симметричными гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка следующими соотношениями:
;. (22)
На Рис. 6 и 7 приведены графики введенных выше функций (18)-(21).

Рисунок 6. Симметричные гиперболические функции Фибоначчи Рисунок 7. Симметричные гиперболические функции Люка
Как следует из рис. 6 и 7, графики функций (18)-(21) являются симметричными и подобны графикам классических гиперболических функций (11), (12). Заметим, что в точке x=0 симметричный косинус Фибоначчи cFs(x) принимает значение , а симметричный косинус Люка cLs(x) в этой точке принимает значение cLs(0) = 2. Важно подчеркнуть, то числа Фибоначчи Fn с четными индексами (n = 0, ± 2, ± 4, ± 6, …) «вписываются» в симметричный синус Фибоначчи sFs(x) в дискретных точках x = 0, ± 2, ± 4, ± 6, …, а числа Фибоначчи Fn с нечетными индексами (n = ± 1, ± 3, ± 5, …) «вписываются» в симметричный косинус Фибоначчи cFs(x) в дискретных точках x = ± 1, ± 3, ± 5 …. С другой стороны, числа Люка с четными индексами «вписываются» в симметричный косинус Люка cLs(x) в дискретных точках x = 0, ± 2, ± 4, ± 6 …, а числа Люка с нечетными индексами «вписываются» в симметричный синус Люка sLs(x) в дискретных точках x = ± 1, ± 3, ± 5 ….
Введенные выше симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка связаны с классическими гиперболическими функциями (11) и (12) следующими простыми соотношениями:
; ;; .
Симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка связаны между собой следующими соотношениями
; 
Рекуррентные свойства симметричных гиперболических функций Фибоначчи и Люка
Симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка (18)-(21) являются «непрерывным» обобщением чисел Фибоначчи и Люка и, следовательно, они обладают рекуррентными свойствами. С другой стороны, они подобны классическим гиперболическим функциям (11) и (12) и, следовательно, они обладают гиперболическими свойствами.
Некоторые из «рекуррентных свойств» функций (18)-(21) приведены в табл. 2.
Таблица 2. Рекуррентные свойства симметричных гиперболических функций Фибоначчи и Люка

Первым важным следствием их введение является осознание того, что классические гиперболические функции (12), (13), которые использовались в математике и теоретической физике не являются единственной математической моделью «гиперболических миров». Параллельно с гиперболической геометрией, основанной на классических гиперболических функциях («гиперболическая геометрия Лобачевского», «четырехмерный мир Минковского»). В природе наблюдается и другая гиперболическая геометрия, основанная на гиперболических функциях Фибоначчи и Люка. 
Гиперболические функции Фибоначчи и Люка [4-7], лежащие в основе явления филлотаксиса, не являются «выдумкой» математиков-фибоначчистов, а отражают важнейшую математическую закономерность, лежащую в основе геометрии живой природы.
В заключение хотелось бы обратить внимание на следующее странное обстоятельство. Можно только удивляться тому факту, что в течение многих столетий математики и физики-теоретики не уделяли должного внимания развитию математического аппарата для моделирования «золотого» гиперболического мира, который существует в реальной действительности. Возможно, причиной этого является тот факт, что «золотой» гиперболический мир имеет большее отношение к биологии и ботанике, чем к физике. Однако, к чести определенной группы физиков-теоретиков, в конце 20-го столетия отношение к Золотому Сечению и числам Фибоначчи, лежащие в основе «золотого» гиперболического мира, в современной теоретической физике начинает быстро изменяться. Работы [30-38] являются свидетельством повышенного интереса к Золотому Сечению и числам Фибоначчи со стороны физиков-теоретиков. Работы Бутусова, Шехтмана (Shechtman), Маулдина (Mauldin), Вильяма (William), Ель Нашие (El Naschie), Владимирова и других показывают, что невозможно вообразить дальнейшее развитие физических и космологических исследований без «Золотого Сечения».