Евклид и Лобачевский: две геометрии - один мир | Пример курсовой работы

Евклид и Лобачевский: две геометрии – один мир

Цель исследования: описать историю и причины возникновения и развития различных геометрических теорий.

На основе этой аксиоматики строится теория параллельных прямых Евклида, подобия, доказываются различные теоремы для треугольников и многоугольников и другие. Она позволяет обосновывать школьную тригонометрию и аналитическую геометрию. Также на основе аксиомы VГ доказывается знаменитая теорема Пифагора, которая позволяется применять алгебру в геометрии.
Этой аксиоматикой обусловлен такой метод решения как «координатный метод». Рассмотрим пример задачи.
Пример 1: Докажем, что сумма расстояний от любой внутренней точки правильного треугольника до его сторон равняется высоте данного треугольника.
Дано: ABC – правильный треугольник.
M0 – внутренняя точка ABC.

M0A0, M0B0, M0C0 – расстояния до сторон треугольника.
Доказать: M0A0+ M0B0+ M0C0=h.
Решение.
Введем систему координат следующим образом: Начало координат совпадает с точкой A, а ось абсцисс проходит через сторону AB (рис. 1).

Рис. 1.
Тогда координаты B=a,0, C=a2,a32, где a – длина стороны треугольника. Пусть точка M0 имеет координаты (x0,y0).
Составим уравнение сторон треугольника:
а) уравнение AB: y=0;
б) kAC=3, A=0,0, следовательно, уравнение AC: y=3x;
в) уравнение BC
x-a12a-a=y-032
32x-a=-12y
y=-3x+a3
Найдем расстояния до этих сторон:
ρM0,AB=y0=y0
ρM0,AC=3×0-y032+1=3×0-y02
ρM0,BC=3×0+y0-a332+1=-3×0+y0-a32
Сложим их:
ρM0,AB+ρM0,AC+ρM0,BC=
=y0+3×0-y02-3×0+y0-a32=2y0+3×0-y0-3×0-y0+a32=
=a32
Длина высоты правильного треугольника h=a32. Следовательно, M0A0+ M0B0+ M0C0=h.
Доказано.
Рассмотрим теперь пример второй аксиоматики – аксиоматику немецкого ученого Германа Вейля («Основания геометрии», 1918 г.) [4].
Основные объекты:
Т – множество «точек».
V – множество «векторов» (обозначение a, b, c).
R – поле вещественных чисел.
Основные отношения:
∆1 – сумма двух векторов (если даны два вектора, то можно однозначно определить третий вектор, который будет называться суммой двух первых векторов).
∆2 – произведение вектора на число (если дан какой-либо вектор и действительное число, то можно однозначно определить второй вектор, которых будет называться произведением числа на вектор.
∆3 – скалярное произведение векторов (если даны два вектора, то можно однозначно определит действительное число, которое называется скалярным произведением этих двух векторов).
∆4 – соответствие пары точек и вектора (если даны два действительных числа, то можно однозначно определить вектор, соответствующий этой паре точек.
Система аксиом:
I группа аксиом: аксиомы суммы векторов.
I1 – Для любых векторов a и b верно равенство
a+b=b+a.
I2 – Для любых векторов a, b и c верно равенство
a+b+c=a+b+c
I3 – Существует вектор 0, называющийся нулевым вектором, такой, что для любого вектора a верно равенство
a+0=0+a=a
I4 – Для любого вектора a, существует вектор a’, который называется противоположным вектором для вектора a, для которого верно равенство
a+a’=a’+a=0
II группа аксиом: аксиомы произведения вектора на число:
II1 – для любого вектора a верно равенство
1∙a=a
II2 – для любого вектора a и двух действительных чисел α и β верно равенство
αβa=αβa
II3 – для любого вектора a и двух действительных чисел α и β верно равенство
α+βa=αa+βa
II4 – для любых двух векторов a и b и действительного числа α верно равенство
αa+b=αa+αb
III группа аксиом: аксиомы размерности.
III1 – существует три линейно независимых вектора.
III2 – любые четыре вектора являются линейно-зависимыми.
IV группа аксиом: аксиомы скалярного произведения.
IV1 – Для любых векторов a и b верно равенство
ab=ba
IV2 – Для любых векторов a и b и действительного числа α верно равенство
αab=αab
IV3 – Для любых трех векторов a, b и c верно равенство
ab+c=ab+ac
IV4 – для любого вектора a верны следующие условия
a∙a=a2≥0
причем
a2=0, при a=0
V – группа аксиом: аксиомы соответствия пары точек и вектора.
V1 – для любой точки A и вектора a, существует одна единственная точка B, что верно равенство
a=AB
V1 – для любых трех точек A, B и C верно равенство:
AB+BC=AC
Аксиоматика Вейля имеет своей отличительной чертой то, что основным понятием в его системе аксиом является вектор. В настоящее время такая аксиоматика является основной в преподавании курса геометрии в вузах за счет ее прозрачности, простоты и быстрого выхода к практическим задачам.
Этой аксиоматикой обусловлен такой метод решения как «векторный метод». Рассмотрим пример задачи.
Пример 2: Докажем, что в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 существует единственная пара точек M∈AC, N∈DC1 такая, что MN∥BD1.
Дано: ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед.
M∈AC,
N∈DC1,
MN BD1 (рис. 2).

В заключении работы отметим достигнутые нами результаты.
Первая глава посвящена геометрии Евклида. В первом разделе первой главы введены постулаты евклидовой геометрии, а именно пять постулатов Евклида, описанных в его труде «Начала». Также, дана краткая характеристика содержания его книги. Введены примеры двух аксиоматик для евклидовой геометрии: система аксиом Гильберта и система аксиом Вейля. Описаны их основные элементы, основные отношения, а также системы аксиом, содержащие эти аксиоматики. Приведены примеры геометрических задач, методы решения которых следуют из описанных ранее аксиоматик, а именно решение задач с помощью «векторного» метода и «координатного» метода. Во втором разделе рассмотрена теория параллельности прямых на основе истории решения проблемы пятого постулата Евклида. Приведены мысли и рассуждения ученых того времени, которые пытались решить следующий вопрос: «Можно ли пятый постулат Евклида доказать с помощью постулатов абсолютной геометрии?»
Вторая глава посвящена неевклидовым геометриям. Первый раздел посвящен геометрии Лобачевского. Описана история открытия геометрии Лобачевского, к которому привело решение проблемы пятого постулата Евклида. Именно Лобачевских, пытаясь решить данный вопрос, первым сделал вывод, что на существование имеют место и другие геометрические теории. Приведены основные положения геометрии Лобачевского. Описаны примеры теорем, содержащихся в данной геометрической теории, для некоторых из них впоследствии приведены их доказательства. Введена модель Кэли-Клейна, которая доказывает непротиворечивость аксиоматики геометрии Лобачевского.
Во втором разделе описан вклад других математиков в развитие неевклидовой геометрии (таких как Гаусс, Больяй, Риман и др.), а также приведены основные положения геометрии Римана.
Таким образом, в заключении, можно сказать о том, что поставленная цель была полностью достигнута.
Цель исследования: описать историю и причины возникновения и развития различных геометрических теорий.

Что думаете про курсовую?

Поставьте оценку!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

три × один =