Элементы теории чисел в школьном курсе математики

Целью исследования является изучение элементов теории чисел в школьном курсе математики.

Полученное новое уравнение по типу точно такое же, как исходное. Однако коэффициенты при неизвестных в нём уменьшились по модулю. Повторим процедуру уменьшения коэффициентов еще раз: 10y=23t+1=10∙2+3t+1⇔10y-20t=3t+1⇒3t+1=10u, u∈Z - новое неизвестное. Проведём процедуру уменьшения коэффициентов в последний раз: 3t+1=10u=3∙3+1u⇔3t-9u=u-1⇒u-1=3v, v∈Z.
Осталось выразить x и y через v. Поскольку u=3v+1, то
3t=10u-1=103v+1-1=30v+9⇒t=10v+3.
10y=23t+1=2310v+3+1=230v+70⇒y=23v+7.
23x=79y-1=7923v+7-1=79∙23v+552⇒x=79v++24.
Ответ: 79v+24;23v+7;v∈Z.
Диофантовы уравнения первого порядка возникают и в некоторых прикладных задачах. Рассмотрим следующий пример.
Пример 3. Найти все целые l, при которых дробь 5l+68l+7 сократима.
Решение:
Пусть k≠±1 - общий делитель числителя и знаменателя.
Тогда 5l+6=km,8l+7=kn, ⇔40l+48=8km,40l+35=5kn; k,m,n∈Z.
Вычтем из первого равенства второе и получим 13=k(8m-5n), откуда k=±13. Для нахождения l решим в целых числах уравнение 5l++6=13m. Это уравнение можно решить двумя способами: перебором всевозможных остатков и процедурой уменьшения коэффициентов.
Решив уравнения, получим l=13s+4, где s∈Z.
Ответ: l=13s+4;s∈Z.
Определение 2. Диофантовым уравнением второго порядка с двумя неизвестными x и y называется уравнение вида Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=F, где A,B,C,D,E,F,x,y∈Z и хотя бы одно из чисел A,B,C отлично от нуля. [20]
Рассмотрим основные методы решения диофантовых уравнений второго порядка с двумя неизвестными на конкретных примерах.
Одним из методов решения является разложение на множители. Он состоит в том, что левая часть данного уравнения каким-либо образом раскладывается на множители (чаще всего путем нахождения дискриминанта), и задача сводится к перебору конечного числа вариантов.
Пример 4. Найти все пары целых чисел (x;y), каждая из которых удовлетворяет уравнению 2x2+5=3y2+5xy.
Решение:
Преобразуем данное уравнение следующим образом:
2x2+5=3y2+5xy⇔3y2+5xy-2x2=5⇔3y-xy+2x=5⇔⇔3y-x=5y+2x=1 ⌵3y-x=-5y+2x=-1⌵3y-x=1y+2x=5 ⌵3y-x=-1y+2x=-5.
Первые две системы не имеют решений в целых числах, третья и четвертая имеют решением пары x,y=2,1и x,y=(-2,-1) соответственно.
Ответ: 2,1;-2,-1.
Пример 5. Решить в целых числах уравнение x2-xy-2x+3y=10.
Решение:
Выразим в данном уравнении y через x: x2-xy-2x+3y=10⇔y3-x=10+2x-x2⇔y=x2-2x-10x-3=x+1-7x-3.
Из полученного равенства видно, что дробь 7x-3 должна быть целым числом. Это возможно, когда x-3 принимает значения ±7 и ±1. Разбирая четыре случая, находим все пары (x,y), удовлетворяющие данному уравнению: x,y={10,10;-4,-2;4,-2;2,10}.
Ответ: {10,10;-4,-2;4,-2;2,10}.
Рассмотрим уравнение вида Ax2+Dx+Ey=F, где A,D,E,F – целые числа и A, и E отличны от нуля. Это уравнение решается перебором остатков при делении на E числа F-Dx-Ax2. Но в отличие от уравнений первого порядка разрешимость данного уравнения может быть и при нескольких значениях остатка q. Кроме того, может оказаться, что такое уравнение и вовсе не имеет решений. [20]
Пример 6. Решить в целых числах уравнение 3x2+2x+3y=2.
Решение:
Перепишем исходное уравнение в виде 3y=2-2x-3x2.
Левая часть полученного уравнения делится на 3, значит, должна делиться на 3 и его правая часть. Рассмотрим три случая.
Если x=3k;k∈Z, то 2-2x-3x2=2-6k-27k2 не делится на 3.
Если x=3k+1, то 2-2x-3x2=2-2(3k+1)-3(3k+1)2=-27k2-24k-3 делится на 3.
Если x=3k+2, то 2-2x-3x2=2-2(3k+2)-3(3k+2)2=-27k2-42k-14 не делится на 3.
Итак, x=3k+1,откуда y=-9k2-8k-1, где k∈Z.
Ответ: 3k+1, -9k2-8k-1;k∈Z.
Часто при решении уравнений, неравенств, систем, а также текстовых задач, связанных с целыми числами, удобно пользоваться графической иллюстрацией. Иногда удаётся достаточно несложно изобразить множество решений на координатной плоскости, и возникает необходимость выделить их этого множества точки с целочисленными координатами. Рассмотрим несколько примеров. [20]
Пример 7. Рассмотрим все пары целых чисел (x,y), удовлетворяющих системе неравенств y3-3x2-4y+18x-26>0,y3+x2-4y-8x+14<0.
Решение:
Умножим первую строку данной системы на (-1) и сложим со второй строкой.
Имеем: y3-3x2-4y+18x-26>0y3+x2-4y-8x+14<0⇔ -y3+3x2+4y-18x+26<0y3+x2-4y-8x+14<0⇒⇒4x2-26x+40<0⇔52<x<4⇒x=3,так как x - целое число. Подставляя x=3 в исходную систему, получаем y3-4y>-1y3-4y<1⇒y3-4y=0, так как y - целое число. Следовательно
y=0 или y=±2, и ответом к задаче будут служить пары чисел
x,y={3,0;3,2;3,-2}.
Ответ: {3,0;3,2;3,-2}.
Пример 8. Найти все целочисленные решения системы x2-2x<y+1,y+ x-1 <2.
Решение:
Пусть t=x-1, тогда данная система примет следующий вид: t2-1<y+1y+ t <2⇔y>t2-1-1,y<2- t .
На координатной плоскости Oty полученная система определяет множество точек, изображенное на рис. 1 (граница не принадлежит данному множеству).
1396365-81915

В данной курсовой работе рассмотрены элементы теории чисел в школьном курсе математики. Были сформулированы теоретические аспекты основных тем по теории чисел, подкрепленные практическими заданиями. Проведен полный анализ учебников математики по данной теме с 5-11 классов. В соответствии с ним, можно сделать вывод, что материала по теории чисел недостаточно в школьной программе и ему нужно уделить больше внимание. Так же были рассмотрены элементы теории чисел в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня. На основе теоретического исследования, можно сделать выводы:
Задания 19 ЕГЭ по математике профильного уровня решают менее 0,3 % выпускников, а 90 % вообще не приступают к его выполнению, отнеся его к сложным заданиям;
Рассмотрев примеры решения задач типа 19 из ЕГЭ по математике профильного уровня, можно заключить, что на самом деле они не являются сложными, а требуют хорошего осмысления условия, обнаружения закономерностей и их обоснования.
Таким образом, задачи данного исследования решены в полной мере, цель достигнута.
В заключении отметим, что исследование по данной теме помогут учителю математики в организации и проведении занятий по темам включающие в себя элементы теории чисел.