Двумерные случайные величины

Целью работы является исследования случайных величин.

Численное значение медианы можно определить по ряду накопленных частот. Накопленная частота для Me[x] равна половине объёма совокупности (F(Me[x]) = N/2); имея ряд накопленных частот, можно вычислить, при каком значении признака накопленная частота равна половине объёма совокупности. Для интервального ряда в этом случае определяется только интервал в котором будет находиться Me[x], само значение приближённо можно определить как:
,
где x0 - начало интервала, содержащего медиану;
Me - величина интервала, содержащего медиану;
F(x0) - накопленная частота на начало интервала, содержащего медиану;
N - объём совокупности;
NMe - частота того интервала, в котором расположена медиана.
Мода (Mo[x]) - наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности.
Для дискретного ряда — это то значение, которому соответствует наибольшая частота распределения. Для интервального ряда в начале определяется интервал, содержащий моду, - тот, которому соответствует наибольшая плотность распределения. Затем приближённо определяется численное значение моды.
Если ряд равноинтервальный, то используется формула:
,
где x0 - начало интервала, содержащего моду,
Mo - величина интервала, содержащего моду,
NMo - частота того интервала, в котором расположена мода,
NM0-1 - частота интервала, предшествующего модальному,
NMo+1 - частота интервала, следующего за модальным.
Средняя величина характеризует только уровень, закономерный для данной совокупности. В ряде случаев одно и то же численное значение средней может характеризовать совершенно различные совокупности. Поэтому для того чтобы судить о типичности средней для данной совокупности, её следует дополнить показателями, характеризующими вариацию (колеблемость) признака. Наиболее распространёнными из них являются дисперсия, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации.
Дисперсия () - это среднее из квадратов отклонений от средней величины, для вариационного ряда она определяется по формуле:
,
Если ряд интервальный, то в качестве варианты (xI), также как при расчете средней, берётся середина интервала.
При использовании калькулятора, а также для дискретных рядов распределения более удобной может быть другая формула вычисления дисперсии:

Различают дискретные и непрерывные многомерные СВ: дискретные – если составляющие этих величин дискретны, и непрерывные – когда составляющие этих величин непрерывны.
Полной характеристикой ССВ является ее закон распределения, который может иметь разные формы: функция распределения, плотность распределения, таблица вероятностей отдельных значений случайного вектора и т.д.
Две случайные величины Х и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая случайная величина. В противном случае величины Х и Y называются зависимыми.
При изучении двумерных случайных величин рассматриваются числовые характеристики одномерных составляющих Х и Y - математические ожидания и дисперсии:
.
Также рассматриваются условные математические ожидания и условные дисперсии.
Числовые характеристики системы не исчерпываются числовыми характеристиками случайных величин, входящих в систему. Может иметь место взаимная связь между случайными величинами, составляющими систему. Для ее описания вводят в рассмотрение числовую характеристику – корреляционный момент.