Целая и дробная часть числа

Пусть теперь x – произвольное число. Если увеличить x на 1n , то все слагаемые в левой части сдвинутся на одно место в право, а последнее слагаемое перейдёт в [x + 1], которое на 1 больше, чем [x]. Таким образом, с увеличением x на 1n левая часть увеличится на 1. Правая часть с увеличением x на 1n аналогично увеличивается на 1. Для любого x можно найти такое число α заключенное между 0 и 1n 0≤α<1n1n, что x отличен от α на mn, где m целое число. Из этого можно заключить, что равенство сохраняется при любом x.
Свойство 4. Для всех целых чисел n∈Z справедливы равенства[x+n] = [x]+n.
Доказательство. Допустим для определенности n – натуральное число. Рассмотрим функцию y=fx, где fx=x. Известно, что график функции y= fx+n, то есть функция y = fx получается из графика y=fx сдвигом на n единиц влево вдоль оси OX. График функции y = fx+n, то есть функция y=x+n из графика функции y=fx поднятием на n единиц вверх вдоль оси Oy. В конце получаются одинаковые графики, т. е. x + n= x+n.
Аналогично доказывается случай, когда n – отрицательные целые числа x n=x n, n∈Z.
Свойство 5. Если [x]=[y], то x – y <1.
Доказательство. Так как x=[x]+{x}, y=y+y (где {x} и {y} – дробные части чисел x и y), то
xy =x+xy y= x {y} , x y<1.
Получившееся неравенство является следствием того, что дробная часть числа является или большей нуля или нулем и меньше единицы. Отсюда следует, что разность дробных частей двух вещественных чисел больше – 1 и меньше 1, а модуль этой разности меньше 1. Таким образом, x-y <1, что и требовалось доказать.
Приведем следующее свойство без доказательства.
Свойство 6. Для любых вещественныx a и b выполняется неравенство a++ [a + b]+[b] [2a]+[2b].